Armonía Moderna

Fenómeno físico y cálculo de escalas

Desde el punto de vista físico y matemático, los sonidos son producidos por la vibración de algún objeto material, como por ejemplo una cuerda, y propagados por el medio aéreo. La frecuencia de esta vibración determina el nombre que le pertenece a la nota producida. En nuestra escala occidental se toma la frecuencia 440 Hz (ciclos por segundo), para la nota LA de la tercera octava; siendo esta la referencia para determinar las demás.

El intervalo de octava es el que se produce cuando se divide por la mitad la longitud de la cuerda manteniéndola a la misma tensión, así la frecuencia se multiplica por dos, 440 x 2 = 880 Hz. Igualmente para descender una octava, se toma la frecuencia original y se divide por dos, obteniendo 220 Hz para el LA de la segunda octava. El oído percibe estas notas como iguales aunque en diferente octava.

Esto da a entender que la percepción de la altura de una nota musical es logarítmica en cuanto a la frecuencia (y la fracción de longitud de la cuerda), ya que el oído percibe como iguales las notas multiplicadas o divididas por potencias de dos.

Sin embargo, el fenómeno físico de los armónicos se produce en fracciones racionales de la longitud de la cuerda, provocando que estos posean frecuencias múltiplo de también, números racionales. Por lo cual dicho fenómeno no aporta una forma matemática de cuantificar las subdivisiones de la escala multiplicando por potencias racionales del número dos.

El siguiente armónico de la vibración se produce a las dos terceras partes de la longitud original, intervalo al que se le denomina quinta, y su frecuencia es tres medias partes superior. Si tomáramos esta frecuencia para determinar la quinta de nuestra escala, coincidiríamos con el método usado por Pitágoras, calculando luego la novena como la quinta de la quinta (nueve octavos) y sucesivamente. Tomando estas notas la escala suena bien, pero la distancia entre tonos y semitonos no es constante, por lo que las melodías no son transportables.

La escala que usamos hoy parte de subdividir la octava con potencias racionales de dos, de tal forma que si subdividimos en doce semitonos iguales, el siguiente semitono se alcanza multiplicando la frecuencia original por la duodécima raíz de dos; un número irracional. Para obtener la quinta tendríamos que multiplicar siete veces por este número o bien una vez por la raíz duodécima de la séptima potencia de dos. Observemos que:

Raíz duodécima de la séptima potencia de dos se aproxima a tres medios a menos de dos milésimas.

diferencia bastante sutil.

Entendiendo esto es comprensible que se haya experimentado con multitud de formas se subdividir la escala micro y macro tonalmente, y que en otras culturas las escalas procedan de cavilaciones totalmente diferentes a las nuestras occidentales.

Puedes ampliar sobre la escala que construyó Pitágoras o bien sobre como calcular las frecuencias de cada nota. También puedes iniciarte en otras cuestiones como la consonancia de acordes según Euler o bien comprobar toda la serie armónica aplicada a las cuerdas de la guitarra.

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